Các đường conic trong các bài toán vật lí

Người Hy Lạp cổ đại đã biết đến các hình mà ngày nay chúng ta gọi là đường conic bậc hai. Họ gọi chúng là các mặt cắt conic hoặc đơn giản là conic, và đã dành nhiều nghiên cứu khoa học để tìm hiểu về chúng.

Vào thế kỷ XVII-XVIII, những đường cong này bắt đầu được ứng dụng trong cơ học. Người ta nhận ra rằng các viên đạn pháo bay theo quỹ đạo parabol, và các hành tinh quay theo quỹ đạo elip. Sau này, khi nghiên cứu chuyển động của các vật thể trong không gian, các nhà khoa học đã xác định rằng tốc độ phóng của một vật thể quyết định quỹ đạo của nó. Cụ thể, một vật thể được phóng từ Trái Đất với các tốc độ khác nhau có thể chuyển động trong không gian theo các đường cong khác nhau, tất cả đều thuộc nhóm đường conic bậc hai: elip, parabol, và hyperbol.

Bài viết này dành để xem xét các đường conic bậc hai và ứng dụng của chúng trong các bài toán vật lý. Trước tiên, chúng ta sẽ nhắc lại định nghĩa của các đường conic bậc hai và một số tính chất của chúng từ góc độ hình học.

---

1 Các đường conic

Parabol là tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều điểm $\text{F}$ và đường thẳng $l$ cho trước (Hình 1). Điểm $\text{F}$ được gọi là tiêu điểm của parabol và đường thẳng $l$ được gọi là đường chuẩn.
Hình elip là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng, tổng khoảng cách từ đó đến hai điểm $\text{A}$ và $\text{B}$ cho trước bằng một giá trị không đổi (Hình 2). Những điểm này được gọi là tiêu điểm của hình elip.

Hình 1

Hình 2

Hyperbol là một tập hợp các điểm trên một mặt phẳng, hiệu khoảng cách từ đó đến hai điểm $\text{A}$ và $\text{B}$ cho trước bằng (về giá trị tuyệt đối) một giá trị không đổi (Hình 3). Những điểm này là tiêu điểm của hyperbol.
Tính chất tiêu điểm của parabol:
Giả sử parabol có tiêu điểm $\text{F}$ và đường chuẩn $l$, và $\text{X}$ là một điểm thuộc đường này (Hình 4). Khi đó đường thẳng $\text{XF}$ và đường vuông góc hạ từ $\text{X}$ xuống $l$ tạo thành các góc bằng nhau với tiếp tuyến $m$ của parabol tại điểm $\text{X}$.
Tiêu điểm của parabol có thể được sử dụng như sau: Nếu bạn làm một gương phản xạ có hình paraboloid và đặt một bóng đèn vào tiêu điểm, bạn sẽ thu được một điểm sáng. Tức là tất cả các tia phản xạ sẽ song song với trục của paraboloid.

Hình 3

Hình 4

Bài tập 1. Chứng minh tính chất tiêu cự của hình elip: các đoạn thẳng nối một điểm của hình elip với tiêu điểm của nó tạo các góc bằng nhau với tiếp tuyến của hình elip tại điểm đó.
Bài tập 2. Chứng minh tính chất tiêu điểm của hyperbol: các đoạn thẳng nối điểm $\text{X}$ của hyperbol với tiêu điểm của nó tạo các góc bằng nhau với tiếp tuyến tại điểm $\text{X}$.

Bài toán 1 . Quỹ đạo chuyển động của con thuyền khi đi qua sông là một đường conic

Một người muốn chèo thuyền qua sông đến điểm $\text{A}$, nằm đối diện đúng với điểm xuất phát $\text{B}$. Vận tốc của dòng sông không đổi và bằng $v$. Người chèo thuyền chèo sao cho tốc độ của anh ta so với nước luôn hướng về điểm $\text{A}$ và bằng $v$. Con thuyền chuyển động theo quỹ đạo nào?

Đặt chiều rộng của dòng sông là $d$ và xét một đường thẳng $l$, vuông góc với bờ của nó và nằm cách điểm xuất phát $\text{A}$ của thuyền một đoạn $d$ về phía hạ lưu. Ban đầu chiếc thuyền cách đều đến $\text{B}$ và đến đường $l$, với cùng khoảng cách $d$. Vì tốc độ của nước và tốc độ của thuyền so với nước có độ lớn bằng nhau và bằng $v$ nên nước đưa thuyền xuôi dòng bằng khoảng cách mà thuyền đi theo hướng điểm $\text{B}$.

Câu II . Con lắc lò xo nằm ngang (2,0 điểm).

Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng \( k = 20 \; \text{N/m} \) và một vật nhỏ khối lượng \( m = 200 \; \text{g} \), đặt trên một mặt phẳng ngang dọc theo trục tọa độ \( Ox \) như Hình 3, gốc \( O \) được chọn là vị trí cân bằng của vật nhỏ. Kéo vật nhỏ dọc theo chiều dương của trục \( Ox \) đến tọa độ \( x = 10 \; \text{cm} \) rồi thả nhẹ để vật chuyển động với vận tốc ban đầu bằng không. Chọn gốc thời gian \( t = 0 \) là lúc thả vật. Lấy \( g = 10 \; \text{m/s}^2 \).

Hình 3: Hình cho câu II - Đề thi học sinh giỏi Vật lý 11 tỉnh Quảng Bình vòng 1 năm 2024.

1. Vật nhỏ đi qua vị trí có tọa độ \( x = -5 \; \text{cm} \) lần thứ nhất tại thời điểm \( t_1 \) và tại đó vật có vận tốc \( v_1 \). Hãy tính \( t_1 \) và \( v_1 \). Biết rằng vùng mặt phẳng ứng với \( x > -5 \; \text{cm} \) có ma sát không đáng kể.
2. Kể từ thời điểm \( t_1 \) vật tiếp tục đi vào vùng mặt phẳng có ma sát, hệ số ma sát trượt giữa vật nhỏ và mặt phẳng ngang trong vùng này là \( \mu = 0.235 \). Vật sẽ dừng lại và đổi chiều chuyển động tại vị trí có tọa độ \( x_2 \). Tính \( x_2 \).

Câu III . Thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng (2,0 điểm)

Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, khoảng cách giữa hai khe \( a = 0.5 \; \text{mm} \), nguồn sáng phát ra ánh sáng đơn sắc bước sóng \( \lambda = 0.68 \; \mu\text{m} \), khoảng cách từ hai khe đến màn \( D = 0.8 \; \text{m} \). Một điểm \( M \) cố định trên màn cách vân sáng trung tâm \( 6 \; \text{mm} \).

1. Vân sáng gần \( M \) nhất cách \( M \) một khoảng bằng bao nhiêu?
2. Để \( M \) thuộc vân sáng bậc 5, phải dịch chuyển tịnh tiến màn theo phương vuông góc với màn một khoảng bằng bao nhiêu?
3. Dịch chuyển tịnh tiến màn theo phương vuông góc với màn ra xa hai khe thêm \( 0.8 \; \text{m} \). Trong quá trình dịch chuyển màn có bao nhiêu vân sáng đi qua điểm \( M \)?

Câu IV . Mạch điện một chiều và tụ điện (4,5 điểm)

Cho mạch điện như hình vẽ (Hình 4), trong đó: \( E = 15.2 \; \text{V} \), \( r = 2 \; \Omega \), \( R_1 = 4 \; \Omega \), \( R_2 = 8 \; \Omega \), \( R_3 = 9 \; \Omega \), \( R_4 = 11 \; \Omega \).

1. Tính: cường độ dòng điện chạy qua mạch chính; cường độ dòng điện chạy qua mỗi điện trở; hiệu điện thế \( U_{MN} \) giữa hai điểm \( M \) và \( N \).
2. Một tụ điện phẳng có hai bản được nối với hai điểm \( M \), \( N \) trong mạch điện ở Hình 4. Các bản tụ được sắp xếp theo phương thẳng đứng và có dạng hình chữ nhật với chiều cao \( H = 1 \; \text{m} \) (Hình 5). Một hạt có khối lượng \( m = 1.2 \; \text{g} \) và mang điện tích \( q = 0.2 \; \mu\text{C} \) được giữ tại một điểm nằm trên đường thẳng đứng cách đều hai bản tụ, ở độ cao \( h = 4 \; \text{cm} \) so với mép trên của các bản tụ. Giả sử điện trường chỉ tồn tại trong khoảng không gian giữa hai bản tụ. Hạt được thả ra và rơi vào giữa hai bản tụ. Khoảng cách \( d \) giữa hai bản tụ phải có giá trị tối thiểu bằng bao nhiêu để hạt có thể bay qua tụ điện mà không chạm vào các bản tụ? Lấy \( g = 10 \; \text{m/s}^2 \). Bỏ qua hiệu ứng cạnh, lực từ và lực cản của không khí.

Hình 4: Câu IV - 1 - Đề thi học sinh giỏi Vật lý 11 tỉnh Quảng Bình vòng 1 năm 2024.

Hình 5: Câu IV - 2 - Đề thi học sinh giỏi Vật lý 11 tỉnh Quảng Bình vòng 1 năm 2024

Câu V . Xử lí số liệu (1,0 điểm)

Trong một thí nghiệm đo điện trở của dây tóc một bóng đèn, với các dụng cụ sau: một bóng đèn dây tóc, một ampe kế, một vôn kế, một nguồn điện có thể điều chỉnh thay đổi được hiệu điện thế, dây nối, khóa \( K \). Thí nghiệm được tiến hành như sau: Mắc mạch điện như Hình 6; Đóng khóa \( K \), điều chỉnh hiệu điện thế của nguồn điện, ghi lại số chỉ vôn kế (giá trị \( U \)) và số chỉ ampe kế (giá trị \( I \)).

1. Từ số liệu ở Bảng 1, hãy vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của \( I \) vào \( U \) trong hệ tọa độ có trục tung biểu diễn các giá trị \( I \), trục hoành biểu diễn các giá trị \( U \).
2. Từ đồ thị hãy cho biết điện trở của dây tóc bóng đèn thay đổi như thế nào và nêu nguyên nhân dẫn đến sự thay đổi đó.

Hình 6: Câu V - Đề thi học sinh giỏi Vật lý 11 tỉnh Quảng Bình vòng 1 năm 2024.

Bảng 1: Đề thi học sinh giỏi Vật lý 11 tỉnh Quảng Bình vòng 1 năm 2024

2 Đáp án - Đề thi học sinh giỏi Vật lý 11 tỉnh Quảng Bình vòng 1 năm 2024

I. YÊU CẦU CHUNG

1. Phần nào thí sinh làm bài theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó.
2. Không viết công thức mà viết trực tiếp bằng số các đại lượng, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
3. Ghi công thức đúng mà:
   • Thay số đúng nhưng tính toán sai thì cho nửa số điểm của câu.
   • Thay số từ kết quả sai của ý trước dẫn đến sai thì cho nửa số điểm của ý đó.
4. Nếu sai hoặc thiếu đơn vị 3 lần trở lên thì trừ 0.25 \text{ điểm}.
5. Điểm toàn bài làm tròn đến 0.25 \text{ điểm}.

II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu I (2,5 điểm)

1. Cho m=0.2\,\text{kg}, tính lực căng sợi dây.
   Giả sử khúc gỗ không trượt, các vật cân bằng bởi các lực được biểu diễn ở Hình 1, các phương trình cân bằng lực:
   T = mg = 0.2 \cdot 9.8 = 1.96 \,\text{N}
   N = Mg
   Lực ma sát nghỉ cực đại:
   F_0 = \mu N = 0.16 \cdot 1.5 \cdot 9.8 = 2.352 \,\text{N}
   Vì T \lt F_0 nên khúc gỗ không trượt, giả thiết đúng.
2. Điều kiện để khúc gỗ không trượt:
   T \lt F_0
   mg \lt \mu Mg
   m \lt \mu M = 0.16 \cdot 1.5
   m \lt 0.24 \,\text{kg}
3. Tính gia tốc của khúc gỗ và lực căng sợi dây khi m=0.5\,\text{kg}.
   Vì m \gt 0.24\,\text{kg} nên khúc gỗ trượt. Các phương trình động lực học:
   mg - T = ma_1
   T - F_{ms} = Ma_2
   Trong đó:
   F_{ms} = \mu Mg
   a_1 = a_2 = a
   Suy ra:
   T = \frac{mMg(\mu + 1)}{m + M} = \frac{0.5 \cdot 1.5 \cdot 9.8 (0.16 + 1)}{0.5 + 1.5} = 4.263 \,\text{N}
4. Xét chuyển động của quả cầu:
   1. Vận tốc của quả cầu:
      Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quả cầu:
      \frac{1}{2} mv^2 = mgl(\cos\alpha - \cos\alpha_0)
      v = \sqrt{2gl(\cos\alpha - \cos\alpha_0)}
   2. Tìm \alpha để khúc gỗ bắt đầu trượt:
      Biểu diễn các lực tác dụng lên các vật như Hình 2.
      Áp dụng định luật II Newton cho quả cầu tại vị trí ứng với góc \alpha:
      T - mg\cos\alpha = ma_{ht}
      Trong đó gia tốc hướng tâm:
      a_{ht} = \frac{mv^2}{l}
      Suy ra:
      T = mg(3\cos\alpha - 2\cos\alpha_0)
      Khúc gỗ bắt đầu trượt khi T = F_0:
      \cos\alpha = \frac{1}{3}\left(\frac{F_0}{mg} + 2\cos\alpha_0\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{2.352}{0.15\cdot9.8} + 2\cos60^\circ\right)
      \alpha = 29.9^\circ

---

---

#ĐềHSGlý11năm2024,#ĐềHSGlý11năm20242025,#ĐềHSGlý11mới

Chuyên mục: